Línea, círculo y lo inconmensurable

Deja un momento la pantalla y toma un compás. La geometría —como gusta recordarnos el geómetra Jaime Buhigas— no es una materia que se lea, sino una práctica que se dibuja: las figuras guardan sus secretos a los ojos y solo los entregan a la mano.7 Así que dibuja conmigo. A partir de dos círculos y unas pocas líneas rectas, sin escribir un solo número, las grandes proporciones irracionales saldrán a tu encuentro: √3, √2, √5 y la sección áurea.

Empieza por la figura más humilde del libro. Dos círculos del mismo radio, cada uno trazado pasando por el corazón del otro. La almendra de luz donde se solapan es la vesica piscis —la «vejiga del pez» de los canteros medievales, la matriz de la que se levanta el arco apuntado de una catedral—. Antes de los números hubo razones; y antes de las razones solo hubo esto: una longitud puesta sobre el suelo, y una longitud girada en torno a un punto.

El primer irracional: √3

Encierra la vesica en un rectángulo y tienes el rectángulo √3 —una unidad de ancho, √3 de alto. Lo has dibujado sin contar nada. Detente a asombrarte de ello, porque una vez quebró un mundo: los pitagóricos lo habían apostado todo a la fe de que todo es número —es decir, números enteros y sus razones—, y una figura muy parecida a esta reveló magnitudes que ninguna razón de enteros podía atrapar. Cuenta la leyenda que Hipaso, que reveló el secreto, lo pagó ahogado en el mar.4,5 El continuo de la línea trazada resultó ser más hondo que el acto de contar.

Lo has dibujado sin contar nada.

√2, √5 y la divina proporción

Levanta un cuadrado sobre la unidad y su diagonal es √2 —la figura que Sócrates arranca a un esclavo sin instrucción en el Menón de Platón, y la razón que los egipcios parecen haber fijado entre el remen y el codo real.3,6 Apila dos cuadrados y la diagonal se vuelve √5. Abate ese √5 desde la base y el cuadrado crece hasta el rectángulo áureo, φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,618. Euclides, sobrio como siempre, solo la llamó una línea cortada «en extrema y media razón» —y sin embargo esta razón es de veras una de las maravillas del universo, que aflora en la espiral de una concha, en el giro de las semillas del girasol y en las proporciones que nos parecen más hermosas. Pacioli, dieciocho siglos después, la nombró De divina proportione, y Leonardo dibujó las láminas.1,2

Edificios que guardan estas razones

Los canteros construyeron con estas figuras mucho antes de que nadie escribiera el álgebra. Los dos grandes métodos medievales se llamaban, literalmente, ad quadratum y ad triangulum —trazar un edificio a partir del cuadrado y su diagonal √2, o del triángulo equilátero de la vesica y su √3.10 La catedral de Milán se discutió, en la década de 1390, entre exactamente estos dos esquemas; Cesare Cesariano dibujó ambos en su edición de Vitruvio de 1521.11 El ejemplo más seguro de la sección áurea es moderno y explícito: Le Corbusier construyó su Modulor —una escala de medida fundada en φ— y proporcionó con él la Unité d'Habitation.12

Un apunte de honestidad, en el espíritu de dibujar antes que de soñar —y debo confesar que soy un romántico de corazón, y que siento la atracción de estas historias tanto como cualquiera. Las afirmaciones románticas —que φ gobierna en secreto el Partenón, las pirámides, el rostro humano— casi todas se deshacen bajo la cinta métrica, y la erudición rigurosa es escéptica.8 Mejor, dice el estudioso, admirar la geometría que podemos documentar que la numerología que no podemos. Y sin embargo el romántico que llevo dentro mantiene encendida una pequeña vela: que estas proporciones nos conmuevan siquiera es ya una suerte de prueba, aunque no de las que una regla pueda zanjar. Lo que es real no necesita adornos —y con una línea y un círculo, √3 y φ salen de dos círculos y un cuadrado, exactos, todas las veces.

Por qué un constructor todavía dibuja esto

Vitruvio enraizó toda la arquitectura en la symmetria: la correspondencia de la parte con la parte, y de la parte con el todo, a través de una medida compartida.3 Aquí está la hermosa paradoja de la geometría: las proporciones que sentimos más vivas son precisamente las que se niegan a ser contadas, y que sin embargo pueden dibujarse con precisión y construirse con fidelidad. Una proporción no es un número que impones sobre una cosa; es una relación que descubres y a la que luego guardas fidelidad. La geometría, diría Buhigas, es al final una manera de mirar.7 Para nosotros es también una manera de trabajar —y la razón de que el estudio lleve el nombre de una alineación.9